漸近正規性

この結果がなぜ実務で決定的かというと、信頼区間がそのまま作れるからです。$N(\theta,1/(nI(\theta)))$ という近似分布の標準偏差（標準誤差）は $\mathrm{SE}=1/\sqrt{nI(\theta)}$ です。真の $I(\theta)$ は未知なので推定値 $\hat\theta$ を代入した $\hat I(\hat\theta)$ を使い、$100(1-\alpha)\%$ 信頼区間は $\hat\theta\ \pm\ z_{\alpha/2}\,\dfrac{1}{\sqrt{n\,\hat I(\hat\theta)}}$ で与えられます。正規分布の上側 $\alpha/2$ 点 $z_{\alpha/2}$（95%なら $1.96$）を使うだけで区間が出るのは、まさに最尤推定量が漸近的に正規だからです。

同じ近似からWald検定統計量も導かれます。帰無仮説 $H_0:\theta=\theta_0$ を検定したいとき、$\hat\theta$ が漸近的に $N(\theta_0,1/(nI(\theta_0)))$ にしたがうことを使い、標準化した $Z=\dfrac{\hat\theta-\theta_0}{1/\sqrt{n\hat I(\hat\theta)}}=(\hat\theta-\theta_0)\sqrt{n\hat I(\hat\theta)}$ を検定統計量とします。$H_0$ のもとで $Z$ は近似的に標準正規 $N(0,1)$ にしたがうので、$|Z|>z_{\alpha/2}$ なら棄却します。信頼区間とWald検定は表裏一体で、どちらも『最尤推定量は大標本で正規・分散は情報量の逆数』という1つの定理から出てきます。注意点として、これは漸近的（大標本）の話であり、$n$ が小さいときや正則条件が崩れるとき（非正則モデル）には成り立たないので、近似の質は標本サイズに依存します。

ポアソンの情報量は $I(\lambda)=1/\lambda$（$\partial^2\ln f/\partial\lambda^2=-X/\lambda^2$ の期待値の負 $=E[X]/\lambda^2=1/\lambda$）。

$\mathrm{SE}=\sqrt{\hat\lambda/n}=\sqrt{2.5/100}=\sqrt{0.025}=0.1581$。95%CI $=2.5\pm1.96\times0.1581=2.5\pm0.310=(2.19,2.81)$。