破産確率（非斉次ポアソン過程・オペレーショナルタイム）

損保数理・公式・破産理論・リスク理論

ひとことで言うと

事故の起こりやすさ（強度）が時間によって変わる場合の破産確率の考え方。累積強度を新しい「時間の物差し」（オペレーショナル・タイム）として使うと、強度が一定の通常のモデルと同じように扱える。

累積強度Λ(t)を新しい時間軸（オペレーショナル・タイム）とみなし、斉次過程として扱う。

\tau(t)=\int_0^t \lambda(s)\,ds

クレーム発生率が時間とともに変化する非斉次ポアソン過程の下での破産確率を扱う。累積強度 $\Lambda(t)=\int_0^t\lambda(s)\,ds$

クレーム発生率が時間とともに変化する非斉次ポアソン過程の下での破産確率は、累積強度

$\tau(t)=\int_0^t \lambda(s)\,ds$

を新しい時間軸（オペレーショナル・タイム）とみなすと斉次ポアソン過程に変換でき、斉次モデルの結果を時間の付け替えで適用できる。ただし、非斉次過程のもとでは安全割増率も時間依存になりうるため、調整係数の評価では時間の付け替えを踏まえた調整が必要になる。

累積強度を時間軸にとれば斉次モデルの結果を適用できる

累積強度 $\Lambda(t)$ をオペレーショナル・タイム $\tau(t)$ として新しい時間軸にとると、非斉次ポアソン過程は斉次ポアソン過程として扱え、斉次モデルの破産確率の結果をそのまま適用できる（2021年度問題3、2025年度問題3）。

安全割増率も時間依存になりうる

非斉次ポアソン過程のもとでは安全割増率も時間依存になりうるため、調整係数の評価では時間の付け替えを踏まえた調整が必要になる（2025年度問題3）。

強度が $\lambda_2(s)=0.5s$ （時間とともに線形に増加）のとき、時刻 $t_2$ までの累積強度は

$\tau_2(t_2)=\int_0^{t_2}0.5s\,ds=0.25t_2^2$

オペレーショナル・タイムτ(t)への変換は、クレーム発生の「回数」の観点でのみ斉次過程と等価になる。実際のカレンダー時間tとオペレーショナル・タイムτ(t)を混同しない。
安全割増率が時間で変化する場合、一定の安全割増率を仮定した通常の調整係数の公式をそのまま使うと誤った評価になる。

強度λ(s)=2s（時間とともに線形に増加）のとき、時刻t=4までの累積強度に最も近いものはどれか。

オペレーショナル・タイムを使う目的として正しいものはどれか。

非斉次ポアソン過程のもとでの調整係数評価に関する記述として正しいものはどれか。