破産理論・リスク理論

調整係数（安全係数）Rは、クレーム額Wの積率母関数を用いた調整方程式 $1+(1+\theta)E[W]R = M_W(R)$ の正の解として定まる量。ルンドベリの不等式はこのRを用いて、初期サープラスuに対する究極破産確率を $\psi(u)\le e^{-Ru}$ と上から評価する定理で、破産理論の基本となる。

連続時間のクラシカル（Cramér–Lundberg）モデルにおける究極破産確率 $\psi(u)$ を厳密に求める問題。存続確率 $\phi(u)=1-\psi(u)$ が満たす積分・微分方程式を解く方法や、破産による最大損失を複合幾何分布で表して積率母関数から解く方法があり、クレーム額が指数・混合指数分布のとき指数関数の和として閉じた式で表せる。

事業年度など離散的な時点でサープラス（保有資産）の推移を追い、各期の収入保険料と支払保険金総額からサープラスが負になる（破産する）確率を計算するモデル。各年の支払保険金総額の分布を用い、1年目・2年目と条件付きで累積破産確率を求める。欠損額分布のラウンド法による離散化やパニエ（パンジャー）型再帰式と組み合わせて計算することもある。

クレーム発生率が時間とともに変化する非斉次ポアソン過程の下での破産確率を扱う。累積強度 $\Lambda(t)=\int_0^t\lambda(s)\,ds$ を新しい時間軸（オペレーショナル・タイム $\tau(t)$）とみなすと斉次ポアソン過程に変換でき、斉次モデルの結果を時間の付け替えで適用できる。安全割増率が時間依存になる点を調整して評価する。

破産確率や年度内の支払保険金総額に基づく破産確率を正規近似などで近似的に求める手法。支払保険金総額Sの期待値$E[S]$と分散$V[S]$を用いて標準化し、破産（Sが保有資産cを超える）確率を $\Pr(Z\ge (c-E[S])/\sqrt{V[S]})$ と評価する。歪みが大きい場合は平行移動ガンマ近似などを用いることもある。