リスク尺度

VaR（バリュー・アット・リスク）は損失分布の上側分位点で、信頼水準 $\alpha$ のもとで超過確率が $1-\alpha$ となる損失額。TVaR（テイルVaR、期待ショートフォール）は VaR を超える損失の条件付き期待値で、裾の重さを反映する。連続分布では $\mathrm{TVaR}_\alpha \ge \mathrm{VaR}_\alpha$。

コヒーレント（整合的）リスク尺度が満たすべき4公理は単調性・正同次性・平行移動不変性・劣加法性。VaR は一般に劣加法性 $\rho(X+Y)\le\rho(X)+\rho(Y)$ を満たさないが、TVaR は満たす。同一水準では $\mathrm{VaR}_\alpha\le(\text{歪みリスク尺度})\le\mathrm{TVaR}_\alpha$ の大小関係が成り立つ。

リスク量（VaR や TVaR で測った必要資本）に対する期待利益の比率。再保険手配の採否など、リスクとリターンを対比した意思決定基準に用いる。分母に用いるリスク尺度により $\mathrm{RoR}_{\mathrm{VaR}}$、$\mathrm{RoR}_{\mathrm{TVaR}}$ を区別する。

歪み関数 $g$（$[0,1]\to[0,1]$ の非減少関数で $g(0)=0,\ g(1)=1$）で生存関数を変換してから期待値をとるリスク尺度。$g$ の選び方により VaR・TVaR を特殊ケースとして含む。$g$ が凹関数ならコヒーレントになる。

CTE（条件付きテイル期待値）は VaR を超える損失の条件付き期待値として定義されるリスク尺度。損失分布が連続な場合は TVaR（期待ショートフォール）と一致する。裾リスクを平均として捉える。