コピュラ・従属構造

ピアソンの相関係数と多変量（2変量）正規分布による従属関係の記述。正規分布では無相関と独立が一致し、条件付き分布も正規分布になる。一般には相関係数は周辺分布に依存し、無相関でも独立とは限らない点に注意する。

共単調（完全正の従属）は一方が増えれば他方も必ず増える関係で、コピュラは上限 $M(u,v)=\min(u,v)$、ケンドール $\tau=1$。反単調（完全負の従属、2変量のみ）は下限 $W(u,v)=\max(u+v-1,0)$、$\tau=-1$。任意のコピュラはこの上下限（フレシェ・ヘフディング限界）に挟まれる。

アルキメデス型コピュラの代表例で、下側の裾（左裾）に従属をもつ。生成作用素は $\varphi(t)=\tfrac{1}{\theta}(t^{-\theta}-1)$。パラメータ $\theta$ とケンドール $\tau$ は $\tau=\theta/(\theta+2)$ の関係にあり、$\tau$ の推定値から $\theta$ を逆算できる。

順位相関係数の一つ。2つの観測対が同順（concordant）か逆順（discordant）かの符号で従属の強さを測る。標本では一致対と不一致対の差を全対数で割って求める。単調変換に不変で、コピュラのみに依存する。

生成作用素（generator）$\varphi$ を用いて $C(u,v)=\varphi^{-1}\big(\varphi(u)+\varphi(v)\big)$ と表せるコピュラの総称。クレイトン・グンベル・フランクなどを含む。ケンドール $\tau$ が生成作用素の積分で表現でき、散布図から型を判別する問題も出る。

コピュラは周辺分布を一様分布に標準化して従属構造だけを取り出す関数。Sklarの定理により、任意の同時分布は周辺分布とコピュラに $F(x,y)=C(F_X(x),F_Y(y))$ と分解でき、周辺分布が連続ならコピュラは一意に定まる。コピュラはフレシェ・ヘフディング上下限に挟まれる。

観測データの順位から構成する非パラメトリックなコピュラの推定。各成分の順位を $n$ で割って一様化し、両成分がそれぞれ閾値以下となる標本の割合で経験コピュラの値を与える。理論コピュラとの比較や TVaR 一致条件の評価に用いる。

一方が極端に大きい（または小さい）とき、他方も同時に極端になる度合いを測る係数。上側裾従属係数 $\lambda_U$ と下側裾従属係数 $\lambda_L$ がある。クレイトンは下側、グンベルは上側に裾従属をもち、正規コピュラはいずれも0となる。

順位相関係数の一つで、観測値の順位に対するピアソン相関として定義される。単調変換に不変で、ケンドール $\tau$ と並ぶ従属尺度。標本では順位差 $d_i$ を用いた簡便式で計算できる。