期待値・モーメント

期待値まわりのばらつき $V[X]=E[X^2]-(E[X])^2$。標準偏差はその平方根。

$E[X^k]$（原点まわり）や中心まわりの積率。平均・分散・歪度などの基礎量。

すべての積率を1つの関数にまとめたもの。一意性定理により $M(t)$ が一致すれば分布も一致し、独立な和では $M_{X+Y}(t)=M_X(t)M_Y(t)$ と積になる。

全期待値の法則。条件付き期待値を平均すると周辺期待値に戻る。

$Y=y$ を与えた下での $X$ の期待値 $E[X\mid Y=y]$。繰り返し期待値の構成要素。

同時分布を一方の変数で積分（周辺化）して得る各変数単独の分布。

確率変数 $X$ の特性関数は $\varphi(t)=E[e^{itX}]$（$i=\sqrt{-1}$）で定義される。積率母関数（MGF）とほぼ同じ性質を持つが、$t$が任意の実数で常に存在する（MGFは存在しない分布がある）点で優れる。期待値 $\mu$ が存在するとき $\varphi(t)=1+i\mu t+o(t)$ と展開でき、独立な確率変数の和の特性関数は各特性関数の積になる性質から、中心極限定理の証明などに利用される。