標本分布と極限定理

観測値を階級ごとの度数に要約した度数分布表から、平均・最頻値（モード）・四分位点・四分位偏差・中央値・累積相対度数を求める手続き。個々の観測値が失われているので、各階級の値を階級値（上限と下限の中間）で代表させるか、階級の中で一様に分布すると仮定して補間するかの約束を置いて計算する。確率分布の中央値や分位点そのものの定義（理論分布の $F(m)=1/2$）と、標本から母数を推定する手順は扱わない。

標本の算術平均 $\bar X$。母平均の不偏推定量で、分散は $\sigma^2/n$。

本試験でいう「標本分散」は $n$ で割る $s^2=\dfrac1n\sum(x_i-\bar x)^2$、「不偏分散」は $n-1$ で割る $u^2=\dfrac{1}{n-1}\sum(x_i-\bar x)^2$ で、$u^2=\dfrac{n}{n-1}s^2$、$E[u^2]=\sigma^2$。正規母集団では $(n-1)u^2/\sigma^2\sim\chi^2(n-1)$。

中心極限定理。独立同分布の和・標本平均は $n$ 大で正規分布に近づく。

標本平均が $n\to\infty$ で母平均に収束する。チェビシェフで弱法則を示せる。

任意分布で平均からのはずれを抑える不等式。必要標本数の保証に使える。

二項・ポアソンなどを正規分布で近似する手法。CLTが根拠。

推定誤差が標本数とともに減る速さ。多くは $\propto 1/\sqrt{n}$。

$Z=(X-\mu)/\sigma$ で平均0・分散1に変換。正規確率を標準正規表で読む基本操作。

分布の上側/下側 $\alpha$ 点。正規の上側5%点は $1.645$、2.5%点は $1.96$。