年金数理の基礎

予定利率 $i$・現価率 $v$・利力 $\delta$ の相互関係。年金数理のすべての現価計算は $v=1/(1+i)$ と $\delta=\log(1+i)$ の上に載る。連続モデルでは利力を直接使う。

年金制度の被保険者が死亡・退職などで減っていく様子を表す残存表。生存数 $l_x$、脱退数 $d_x$、脱退率 $q_x$ で構成し、年金数理では「脱退残存表」と呼ぶ。

年齢 $x$ の被保険者の余命の期待値。完全平均余命 $\mathring e_x$ は連続、略算平均余命 $e_x$ は離散で、両者はおよそ $1/2$ だけ異なる。終身年金現価との大小比較で頻出。

生存数と現価率を組み合わせた計算補助量。$D_x=v^{x}l_x$ を出発点に $N,C,M$ を定義し、年金現価・給付現価をすべて基数の比で書けるようにする。

生死に関係なく一定期間支払う確定年金の現価率・終価率。年金給付を「$n$ 年確定年金」で設計する制度や、一時金と年金の換算に用いる。

受給権者が生存する限り支払う終身年金の現価。基数の比 $N/D$ で表し、年金給付制度の給付現価の中核をなす。期始払と期末払は $1$ だけ違う。

死亡しても一定期間は必ず支払う保証期間を付けた終身年金。保証期間の確定年金部分と、保証期間経過後の据置終身年金部分の和で表す。

支払期間を区切った有期年金と、一定期間後から支払を始める据置年金。定年退職から年金支給開始までの据置や、有期の退職年金の設計に使う。

年 $m$ 回に分けて支払う年金の現価。年1回払の現価に分割補正項を加えた近似式を使う。年金制度は年6回払・年12回払が実務上多く、本試験でも換算が問われる。

支払が連続的に行われる年金の現価。利力 $\delta$ と死力（脱退力）$\mu$ が一定なら閉形式になり、指数型の年金現価との現価一致条件を問う設問が繰り返し出る。

年金額が毎年一定額（または一定率）ずつ増減する年金の現価。物価スライド・段階年金の評価に用いる。一定率で増える場合は利率を実質利率に置き換えて評価できる。

本人と配偶者など複数人の生死に依存する年金。遺族年金の評価に使う。同時生存年金 $\ddot a_{xy}$、最終生存者年金 $\ddot a_{\overline{xy}}$ の間に加法関係が成り立つ。

脱退と昇給を単位時間あたりの力 $\mu_{x}$・$\lambda_{x}$ で与えたときに、残存者数と給与がどう動くかを決める設定。$l^{\prime}(x)=-\mu_{x}\,l(x)$ と $b^{\prime}(x)=\lambda_{x}\,b(x)$ の2本から残存率と給与指数が指数型で書け、給与1あたりで見ると2つは逆向きに効く。